Ajustamento de observações

INTRODUÇÃO AO AJUSTAMENTO DE OBSERVAÇÕES
POR QUE AJUSTAR OBSERVAÇÕES?
As observações conduzidas pelo homem se caracterizam pela inevitável presença dos
“erros de medida”. Erros que decorrem não apenas de falhas humanas, mas também da
imperfeição do equipamento e da influência das condições ambientais nas quais se processa a
mensuração. Cabe aqui, de imediato, a célebre frase do Prof. Camil Gemael: “Quem dá os
primeiros passos na análise de observações começa por fazer uma concessão: abdicar da
pretensão de obter o verdadeiro valor de uma grandeza medida”.
A desconfiança no resultado de uma medida isolada, fruto da certeza na falibilidade
humana, leva naturalmente à repetição das observações. Assim, a partir da pluralidade de
observações, sabidamente incorretas – pelas discrepâncias que apresentam, como extrair um
resultado que seja único e que possa representar com confiança a grandeza medida? O
ajustamento de observações proporciona este resultado bem como estima a precisão da solução
adotada.
ERRO VERDADEIRO, APARENTE E RESÍDUO
Designando por X o valor estimado de uma grandeza medida; por m o seu verdadeiro
valor, e por li os valores observados, tem-se que:
ev = li - m - erro verdadeiro;
ea = li - X - erro aparente;
Vi = X - li - resíduo
O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
Para apresentar o MMQ, considere o caso muito simples de medida direta de uma
grandeza X. Sejam
1 2 3
, , ,...,
n
l l l l
os valores obtidos em uma série de n observações – medidas da grandeza X.
Na impossibilidade de se obter o verdadeiro valor de X, pesquisemos uma estimativa na
qual se possa confiar; adote-se, com base num certo critério, o valor x e determinam-se as
diferenças:
1 1
2 2
.............
n n
x l v
x l v
x l v
- =
- =
- =
; 1,2,...,
i i
x l - =v i= n
Tais diferenças (
i
v ) são os resíduos; estes, a priori são desconhecidos, e somados às
observações reproduzem o valor escolhido x.
Mudando o critério, poder-se-ia adotar um outro valor x’; resultaria um novo conjunto de
resíduos:
i i
x¢-l =v¢
E assim por diante. Qual dos valores x, x’,... adotar? Como escolher um critério que
permita, das observações repetidas
i
l , discrepantes entre si, extrair um valor único para
representar a incógnita X?
Há dois séculos, Gauss e Legendre indicaram a solução: Método dos Mínimos Quadrados
– MMQ.
ENUNCIADO:
A melhor estimativa de uma grandeza X é o valor que torna mínima a soma dos quadrados dos
resíduos:
2
1
min
n
i
i
v
=
å =
Quando as observações não oferecem o mesmo grau de confiança, são homogeneizadas através
da atribuição de pesos
i
p :
2
1
min
n
i i
i
p v
=
å =
Modernamente, prefere-se a notação matricial:
min T V V = min T V PV =
sendo V o vetor coluna dos resíduos: 1 2 [ ... ]T
n V = v v v .
Até há bem pouco tempo, a teoria clássica dos mínimos quadrados manteve-se inalterada;
isto é, impunha restrições hoje dispensáveis: observações não correlacionadas e os resíduos
obedecerem à distribuição normal. Foram os avanços da Estatística Matemática, através da
extraordinária concisão da linguagem matricial associada ao uso de computadores capazes de
manipular matrizes de elevadas dimensões, que mostraram a conveniência da revisão de certos
conceitos. Assim, os pré-requisitos de “observações não correlacionadas” e os de “desvios
normais” recebem atualmente outro enfoque: as observações são encaradas como variáveis
aleatórias ou estocásticas (sujeitas as oscilações probabilísticas) e o ajustamento proporciona
estimativas das mesmas e/ou de quantidades (parâmetros) a elas ligadas. A introdução da
estimativa por intervalos e dos testes estatísticos veio possibilitar o tratamento mais lógico de
certos problemas.
RESUMO
Em resumo, pode-se dizer que:
A partir de observações superabundantes, sujeitas a flutuações probabilísticas e de uma
estimativa de sua precisão, o AJUSTAMENTO tem por objetivo:
a) Estimar mediante a aplicação de modelos matemáticos adequados e do MMQ, um
valor único para cada uma das incógnitas do problema;
b) Estimar a precisão de tais incógnitas e a eventual correlação entre elas.
AJUSTAMENTO DE OBSEVAÇÕES DIRETAS
Observações diretas são aquelas em que as medidas são efetuadas diretamente sobre a
grandeza incógnita ou desconhecida. Em geral, trata-se, portanto, na medida de uma distância, de
um ângulo ou qualquer medida repetida sobre uma grandeza. Mais adiante será mostrado que a
Média Aritmética satisfaz o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) quando o problema é o
ajustamento de observações diretas.
As observações de uma mesma grandeza podem ou não oferecer o mesmo grau de
confiança; não oferecendo, estas serão afetadas por pesos diferentes ou, ponderadas
adequadamente.
OBSERVAÇÕES DIRETAS DE MESMA PRECISÃO
ESTIMATIVA DA GRANDEZA – VALOR AJUSTADO – MÉDIA ARITMÉTICA
O valor ajustado é dado por uma estimativa pontual, ou seja, por um único valor
representado pela média aritmética simples.
Admitindo que sobre uma mesma grandeza desconhecida, um ângulo por exemplo, tenha
sido efetuada uma série de n medidas repetidas, independentes entre si, e que as mesmas
apresentem o mesmo grau de confiança.
Eliminando-se os erros grosseiros e as influências sistemáticas presentes nas observações
originais, resta um conjunto de n observações:
1 2 3 , , ,..., n l l l l
Designando por X o valor a ser calculado, que representa o valor ajustado ou a
estimativa da grandeza incógnita, os resíduos podem ser calculados:
1 1
2 2
................
n n
X l v
X l v
X l v
= +
= +
= +
1 1
2 2
................
n n
v X l
v X l
v X l
= +
= +
= +
Aplicando o critério dos Mínimos Quadrados, de forma que e VTV = min , tem-se:
2 2 2 2
1 2
1
( ) ( ) ... ( ) min
n
T
i n
i
f V V v X l X l X l
=
= =å = - + - + + - =
Derivando a forma quadrática f em relação a X , igualando a zero e efetuando as
manipulações algébricas, resulta:
1
. 0
n
i
i
n X l
=
-å =
1
1 n
i
i
X l
n =
= å
Verifica-se que, para observações diretas (de mesma precisão e não correlacionadas) a
estimativa da grandeza procurada (valor mais provável) X é a média aritmética simples.
A equação acima, escrita em notação matricial:
1 T
B X A L
n
=
apresenta duas matrizes: A um vetor coluna (nx1) de termos unitários e LB o vetor (nx1) das
observações.
ESTIMATIVA DA PRECISÃO – ERRO MÉDIO QUADRÁTICO
Adotada a média aritmética como representativa da grandeza medida, resta estimar o grau
de precisão desta estimativa – desvio padrão ou erro médio quadrático. Para tanto necessita-se de
uma estimativa da precisão das observações ajustadas.
Desvio padrão ou erro médio quadrático de uma observação isolada
Como índice de precisão utiliza-se o desvio padrão sˆ ’ou o erro médio quadrático m,
com sˆ =|m|.
O erro médio quadrático foi proposto por Gauss, que o definiu como a raiz quadrada da
média dos quadrados dos erros verdadeiros. Como os erros verdadeiros são desconhecidos, o
erro médio quadrático pode ser expresso em função dos resíduos relativos à média: